Qu'appelle-t-on numération de position ?
Un nombre entier quelconque N peut être
considéré comme la valeur numérique d'un
polynôme P(x), le polynôme étant à
coefficients entiers positifs, inférieurs à x,
x entier positif ; x est la base de la
numération.
P(x) = amxm + am-1xm-1 + ... + am-pxm-p + ... + a0
Chaque monôme est porteur de deux informations :
am-p et xm-p .
En numération de position, ce nombre N est symboliquement
représenté sous la forme :
am am-1 ......am-p
......a0
Dans une telle écriture, seuls les coefficients subsistent. Il
semblerait que la deuxième information ait été
perdue. La seconde information n'est cachée qu'en apparence
puisqu'elle exprime de manière parfaite la position
occupée par am-p dans l'écriture du
nombre.
Dans la numération de position, on associe à tout
chiffre am-p deux informations distinctes
symbolisées par deux nombres entiers positifs. On peut donc
imaginer une représentation analytique de ce nombre en portant
en abscisse, pour chacun de ses chiffres am-p, le
nombre d'unités contenues dans ce chiffre et en
ordonnée, le rang du chiffre considéré
(m-p). Il semble que la présentation analytique du
nombre écrit en numération de position ne nous apporte
rien de nouveau. Son intérêt n'apparait que si l'on
décide d'égrener les unités composant la valeur
numérique symbolisée par chaque chiffre, sous la forme
de cercles égaux, centrés sur l'axe des X ou sur une
parallèle à cet axe. Le nombre considéré
apparaît tel qu'il serait représenté sur un
boulier.
Illustrons ceci par un exemple :
Prenons le nombre 1437.
Nous avons :
1437 = P(10) avec P(x) = 1. x3 + 4.
x2 + 3. x + 7
Cette écriture nous fournit les représentations
analytiques suivantes, où la valeur numérique des
coefficients est portée en abscisse, et le rang de chaque
coefficient en ordonnée :
Les créateurs de cet instrument ont donc fait de la
géométrie analytique sans le savoir.
Du boulier, on passe immédiatement à la
numération écrite de position à la seule
condition de choisir des symboles pour exprimer tous les nombres
inférieurs à la base. Inversement, on passe, par
l'intermédiaire d'une représentation analytique, de la
numération écrite de position au boulier.
Il existe donc une véritable équivalence entre
un nombre présenté sur le boulier et ce même
nombre écrit en numération de position.
Deux calculateurs, qui n'ont pas la même langue mais qui
utilisent une numération écrite de position de
même base, représenteront de manière identique un
nombre donné sur leur boulier.
Il s'agit du même nombre puisqu'il est représenté
sur le boulier de manière unique.
La numération figurée la plus parfaite est donc
celle du boulier : elle a un caractère universel pour une base
donnée.
Seules, l'unité, la base et les puissances successives
de la base seront représentées sur les tiges du
boulier.
L'en-tête a généralement disparu en regard de
chacune de ses tiges.
La représentation linéaire d'un nombre écrit en
numération de position réduit son expression analytique
à la seule ordonnée.
Il est naturel de commencer par les grandes puissances de la
base.
Sur le boulier, en général, le premier nombre inscrit
peut l'être de manière quelconque, l'origine des
ordonnées peut ne pas être précisée.
Il est alors indispensable de marquer la place des unités
simples par un signe distinct dans la présentation
écrite du nombre et de préciser sur le boulier la
position de l'origine.
Pour obtenir, à partir du polynôme fondamental, la
numération écrite de position de la meilleure
qualité, il convenait d'envisager séparément et
exclusivement les deux informations contenues dans chaque
monôme de ce polynôme. Ceci est aussi vrai pour le
boulier.
Avec la table à compter, on peut ultérieurement
décider de supprimer l'en-tête, ce qui le
présentera sous la forme d'un simple échiquier sur
lequel on placera les cailloux. Que les cailloux soient
remplacés par de petits bâtonnets et voici la
numération figurée chinoise. Si l'on va au delà,
on peut imaginer de remplacer les petits cailloux par des billes que
l'on enfilera sur des tiges fixées rigidement, à
l'en-tête lui-même indéformable. Et voici le
boulier sous sa forme parfaite, instrument qui a même le
mérite d'être portatif.
L'origine commune de la numération écrite de
position et du boulier explique l'identité de leur conception,
ce qui a permis aux chinois de présenter le nombre sous sa
forme la plus abstraite.
